對(duì)于工程學(xué)和物理科學(xué)專業(yè)的學(xué)生來說，復(fù)分析是一門重要的學(xué)科，也是數(shù)學(xué)的核心科目。除了數(shù)學(xué)上的優(yōu)雅之外，復(fù)分析還提供了強(qiáng)大的工具來解決非常困難或幾乎不可能用其他方法解決的問題。這篇文章為大家?guī)?strong>復(fù)數(shù)分析美國(guó)留學(xué)生高分?jǐn)?shù)學(xué)輔導(dǎo)講解。

一、關(guān)于復(fù)數(shù)分析

復(fù)數(shù)分析是對(duì)復(fù)數(shù)及其導(dǎo)數(shù)、操作和其他性質(zhì)的研究。復(fù)數(shù)分析是一種極其強(qiáng)大的工具，在解決物理問題方面有著意想不到的大量實(shí)際應(yīng)用。例如，輪廓積分提供了一種計(jì)算困難積分的方法，它通過研究函數(shù)在復(fù)平面靠近積分極限的區(qū)域和積分極限之間的奇異點(diǎn)來計(jì)算。

復(fù)分析的關(guān)鍵結(jié)果是柯西積分定理，這也是單變量復(fù)分析擁有如此多漂亮結(jié)果的原因。皮卡爾大定理(Picard's great theorem)就是復(fù)分析意想不到的力量的一個(gè)例子，該定理指出，一個(gè)解析函數(shù)在本質(zhì)奇點(diǎn)的任何鄰域無限次地假設(shè)每一個(gè)復(fù)數(shù)，可能只有一個(gè)例外!

復(fù)數(shù)分析的一個(gè)基本結(jié)果是考奇-黎曼方程(Cauchy-Riemann equations)，該方程給出了一個(gè)函數(shù)必須滿足的條件，才能使導(dǎo)數(shù)的復(fù)數(shù)廣義化(即所謂的復(fù)數(shù)導(dǎo)數(shù))存在。當(dāng)復(fù)導(dǎo)數(shù)的定義 "無處不在 "時(shí)，函數(shù)就被稱為解析函數(shù)。

二、連續(xù)性

我們從一個(gè)相當(dāng)微不足道的復(fù)值函數(shù)開始。假設(shè) f 是實(shí)變量的復(fù)值函數(shù)。這意味著，如果 x 是實(shí)數(shù)，f(x) 就是復(fù)數(shù)，可以分解為實(shí)部和虛部：f(x) = u(x)+i v(x)，其中 u 和 v 是實(shí)變量的實(shí)值函數(shù);也就是我們?cè)趯?shí)微積分中熟悉的對(duì)象。如果 u 和 v 在 x0 處連續(xù)，我們就說 f 在 x0 處連續(xù)。

復(fù)變的復(fù)值函數(shù)的連續(xù)性是一個(gè)非難性質(zhì)。如果一個(gè)函數(shù)在 z 接近 zo 時(shí)接近 f(zo) 的值，那么這個(gè)函數(shù)在點(diǎn) zo 上就是連續(xù)的。由于 z 位于復(fù)平面(也稱阿甘平面)中，它可以從多個(gè)方向接近該點(diǎn)。因此，我們需要完善我們的定義，以滿足新的需求。

形式上，如果對(duì)于任意 ε>0 存在一個(gè) δ>0，使得所有 |z-zo|<δ 的 |f(z)-f(zo)|<ε ，我們就說 f(z) 在 zo 處是連續(xù)的。因此，只要 z 位于以 zo 為圓心、半徑為 δ 的圓盤(稱為 zo 的鄰域)內(nèi)，且函數(shù)接近 f(zo) 的值。

三、解析性

建立了復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性概念后，我們就可以深入研究復(fù)變函數(shù)的微分了。在討論復(fù)變函數(shù)微分的過程中，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)這類函數(shù)需要滿足一個(gè)重要的標(biāo)準(zhǔn)，即考奇-黎曼方程(Cauchy-Riemann equations)。如果類比一下，我們就會(huì)知道，要使實(shí)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在給定點(diǎn)上有限存在，該函數(shù)在該點(diǎn)上應(yīng)該是連續(xù)的。復(fù)變函數(shù)的類似標(biāo)準(zhǔn)是考奇-黎曼方程。我們很快就會(huì)在下面的討論中看到證明。

實(shí)變量的復(fù)值函數(shù)很容易微分，即 f'(x)=u'(x)+iv'(x)，其中 f(x) 是實(shí)變量 x 的復(fù)值函數(shù)。這并沒有什么新奇之處。

四、了解更多

我們知道，復(fù)變量 z 本身實(shí)際上是兩個(gè)實(shí)變量 x 和 y 的一對(duì)。我們將 z 畫成復(fù)平面上的一個(gè)點(diǎn)，并用有序?qū)?(x,y) 表示 z=x+iy。因此，這就帶來了一個(gè)問題，即如何從復(fù)變函數(shù)微分復(fù)值函數(shù)。正如我們所預(yù)料的，導(dǎo)數(shù)的定義類似于實(shí)數(shù)微積分：

因此，第一個(gè)挑戰(zhàn)就是如何使 δz 變小。在復(fù)平面上，我們可以從多個(gè)方向?qū)崿F(xiàn)這一目標(biāo)。從定義中可以看出，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在取極限時(shí)不能改變。否則，每次切換極限都會(huì)得到新的導(dǎo)數(shù)。事實(shí)上，我們正在做的事情是，研究當(dāng)我們?nèi)?δz?0 時(shí)，或者換句話說，取 δx?0 和 δy?0 時(shí)，函數(shù) f(z) 是如何變化的。從本質(zhì)上講，我們的導(dǎo)數(shù)不能因?yàn)楦淖內(nèi)O限的順序而改變。而改變?nèi)O限的順序并不總能保證數(shù)值不變（每個(gè)數(shù)學(xué)家都能編出一個(gè)函數(shù)來證明這個(gè)命題?。Ｒ虼?，可微分性在復(fù)數(shù)世界中是一個(gè)非同小可的屬性。

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