拓?fù)鋵W(xué)是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，描述數(shù)學(xué)空間，特別是空間形狀所產(chǎn)生的屬性。拓?fù)鋵W(xué)家所研究的許多形狀都非常奇特，以至于幾乎所有的日常物體，如碗、寵物和樹(shù)木，都只占少數(shù)。拓?fù)鋵W(xué) "一詞源于希臘語(yǔ)，意思是地方(topos)和研究(-logy)。紐約大學(xué)拓?fù)鋵W(xué)課程學(xué)不會(huì)怎么辦?專業(yè)的課程輔導(dǎo)可以為大家解決問(wèn)題!

一、連續(xù)變形

拓?fù)鋵W(xué)家研究形狀的特性，特別是在形狀扭曲、拉伸或變形后仍能保持的特性。這一系列允許的變化都符合一種數(shù)學(xué)思想，即連續(xù)變形，大致意思是 "拉伸，但不撕裂或合并"。例如，一個(gè)圓可以被拉伸成一個(gè)橢圓，或者像手印輪廓那樣的復(fù)雜形狀。撕裂和合并會(huì)造成所謂的不連續(xù)性，因此是不允許的。

兩個(gè)可以拉伸成相同形狀的物體被描述為同形物，同形物來(lái)自拉丁化的希臘語(yǔ)，意思是 "類似于"(homeo-)和希臘語(yǔ)中的 "形式、形狀或圖形"(morphe)。從這個(gè)角度看，幾乎所有的日常物體都與球體(球)或某種環(huán)狀體(甜甜圈)同構(gòu)。

二、歐拉特性

物體的歐拉特性是在連續(xù)變形的情況下不發(fā)生變化的特性的一個(gè)例子，它以 18 世紀(jì)德國(guó)數(shù)學(xué)家萊昂哈德-歐拉的名字命名。

要證明物體的歐拉特性，首先我們?nèi)∫粋€(gè)球體(或與球體同構(gòu)的物體，如人頭)，在其表面貼上多邊形。然后，我們計(jì)算面(邊)、邊(兩條邊相交的地方)和頂點(diǎn)(三條或更多條邊相交的地方)的數(shù)量?，F(xiàn)在，將面(F)和頂點(diǎn)(V)的數(shù)量相加，再減去邊(E)的數(shù)量：F + V - E。由于五個(gè)柏拉圖實(shí)體(由一種正多邊形構(gòu)成的三維圖形)都與球體同構(gòu)，因此它們的歐拉特征都是 2。

如果我們想想添加一條邊或一個(gè)頂點(diǎn)意味著什么，就能理解為什么歐拉特性是守恒的了。在兩個(gè)頂點(diǎn)之間添加一條邊會(huì)將一個(gè)面分割成兩個(gè)：邊增加一條，面增加一個(gè)，而頂點(diǎn)保持不變。同樣，在一條邊上添加一個(gè)頂點(diǎn)也會(huì)將該邊一分為二：邊增加一個(gè)，頂點(diǎn)增加一個(gè)，面保持不變。

現(xiàn)在鋪貼環(huán)面，計(jì)算 F、V 和 E，你會(huì)得到歐拉特性為零的結(jié)果。

三、不可定向曲面

迄今為止，我們討論過(guò)的所有形狀都有一個(gè)共同點(diǎn)，那就是它們都是可定向的。這意味著小蟲(chóng)在外側(cè)表面行走時(shí)將始終停留在外側(cè);內(nèi)側(cè)也是如此。也有一些表面是不可定向的，這意味著在表面上游蕩的小蟲(chóng)可能會(huì)在兩邊都出現(xiàn)。最有名的例子就是莫比烏斯帶(其歐拉特性為零，EC = 0)。

雖然 "莫比烏斯帶的兩面 "這樣的語(yǔ)言有助于介紹這一概念，但它與拓?fù)鋵W(xué)家的觀點(diǎn)背道而馳，拓?fù)鋵W(xué)家認(rèn)為任何表面都是二維的，居住在其中的生物也是二維的。拓?fù)鋵W(xué)家認(rèn)為，任何曲面都是二維的，居住在曲面上的生物也是二維的。從這個(gè)角度看，把二維的蟲(chóng)子想象成生活在曲面本身會(huì)更有用。對(duì)于可定向表面，有右手蟲(chóng)和左手蟲(chóng)，但對(duì)于不可定向表面，右手蟲(chóng)和左手蟲(chóng)是無(wú)法區(qū)分的。這就強(qiáng)調(diào)了莫比烏斯帶代表了一個(gè)空間，而我們感興趣的是空間形狀所產(chǎn)生的屬性。

四、基本多邊形

從表面是二維的角度來(lái)看，用基本多邊形來(lái)表示拓?fù)淇臻g是很方便的。要將基本多邊形的二維表面轉(zhuǎn)化為三維物體，只需拉伸表面，使相應(yīng)的邊沿箭頭所指的方向連接即可。如圖所示，將平行邊連接起來(lái)可以形成圓柱體(EC = 0)，將反平行線連接起來(lái)可以形成莫比烏斯帶(EC = 0)。

一個(gè)二維小蟲(chóng)從一個(gè)基本多邊形的箭頭邊界走過(guò)后，會(huì)被傳送到另一個(gè)邊界，并以與箭頭方向相同的方式定向。蟲(chóng)子是保持不變還是翻轉(zhuǎn)，分別表示曲面是可定向的還是非定向的。2-D 錯(cuò)誤不允許穿過(guò)虛線邊界。

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