泛函分析是數(shù)學(xué)中的一門(mén)深入領(lǐng)域，涉及許多抽象的概念、定義和定理。這些概念可能與初學(xué)者在其他數(shù)學(xué)分支中接觸到的內(nèi)容有所不同，可能需要一些時(shí)間來(lái)適應(yīng)。這篇文章為大家?guī)?lái)杜克大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)泛函分析高級(jí)講解。

泛函分析

現(xiàn)代數(shù)學(xué)分析的一個(gè)部分，其基本目的是研究函數(shù) y=f(x)，其中至少有一個(gè)變量 x 或 y 在無(wú)限維空間上變化。在其最一般的形式下，這樣的研究分為三個(gè)部分：1) 作為獨(dú)立對(duì)象的無(wú)限維空間的引入和研究;2) 研究最簡(jiǎn)單的函數(shù)，即當(dāng) x 取值于無(wú)限維空間，y 取值于一維空間時(shí)(這些稱為泛函，因此得名 "泛函分析" );以及 3) 研究所指示類型的一般函數(shù) —— 運(yùn)算符(參見(jiàn)運(yùn)算符)。線性函數(shù) X∋x?f(x)=y∈Y，即線性算子，得到了最全面的研究。它們的理論本質(zhì)上是線性代數(shù)推廣到無(wú)限維情況。泛函分析方法特點(diǎn)是將經(jīng)典分析和代數(shù)的方法相結(jié)合，從而導(dǎo)致了乍看之下非常疏遠(yuǎn)的數(shù)學(xué)分支之間的關(guān)系。

泛函分析作為一個(gè)獨(dú)立的數(shù)學(xué)學(xué)科始于19世紀(jì)末，并在20世紀(jì)20年代和30年代得以確立，一方面受特定類別的線性算子研究的影響 —— 與它們相關(guān)的積分算子和積分方程 —— 另一方面受現(xiàn)代數(shù)學(xué)純粹內(nèi)在發(fā)展的影響，其目標(biāo)是推廣并澄清某些正則行為的真實(shí)本質(zhì)。量子力學(xué)也對(duì)泛函分析的發(fā)展產(chǎn)生了巨大影響，因?yàn)槠浠靖拍?，例如能量，被證明是無(wú)限維空間上的線性算子(物理學(xué)家起初將其相當(dāng)寬松地解釋為無(wú)限維矩陣)。

**空間的概念**

拓?fù)湎蛄靠臻g(參見(jiàn)拓?fù)湎蛄靠臻g)是泛函分析中出現(xiàn)的最一般的空間。這些是定義在復(fù)數(shù)域C(或其他域，例如實(shí)數(shù)域R)上的向量(線性)空間X，同時(shí)它們也是拓?fù)淇臻g，并且線性結(jié)構(gòu)和拓?fù)湓谝韵乱饬x上是兼容的：線性運(yùn)算在所考慮的拓?fù)湎率沁B續(xù)的。特別地，如果X是度量空間，那么就得到了一個(gè)度量向量空間。

更具體但非常重要的情況是，在向量空間X中引入了矢量x∈X的范數(shù) ∥x∥(長(zhǎng)度)的概念，這是公理化引入的。帶有范數(shù)的向量空間稱為賦范空間。它是可度量的。通過(guò)公式：ρ(x,y)=∥x−y∥ 引入度量ρ。帶有范數(shù)的向量空間稱為Banach空間，如果它對(duì)所指示的度量是完備的。

在許多問(wèn)題中，情況是這樣的，可以為向量空間X中的任意兩個(gè)向量引入內(nèi)積(x,y)，使得該乘積推廣了三維空間中的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)量積。帶有內(nèi)積的空間稱為預(yù)希爾伯特空間;它是賦范空間的特例。如果這個(gè)空間是完備的，則稱為希爾伯特空間。

泛函分析研究了無(wú)限維空間，即存在無(wú)限個(gè)線性獨(dú)立向量的空間。

從幾何角度看，最簡(jiǎn)單的空間是希爾伯特空間X=H，其性質(zhì)大部分類似于有限維空間，因?yàn)榭梢酝ㄟ^(guò)內(nèi)積引入類似于兩個(gè)向量之間夾角的概念。特別地，對(duì)于H中的兩個(gè)向量x,y，如果(x,y)=0，則稱它們正交(x⊥y)。在H中成立以下結(jié)果：設(shè)G是H的子空間，那么任意向量x∈H都有一個(gè)投影xG到G上，即一個(gè)向量xG∈G，使得x−xG與G中的任意向量正交。由于這個(gè)事實(shí)，許多在有限維空間中成立的幾何構(gòu)造可以遷移到希爾伯特空間，而它們常常具有解析特性。

從希爾伯特空間過(guò)渡到Banach空間時(shí)，幾何問(wèn)題變得更加復(fù)雜，而在一般拓?fù)湎蛄靠臻g中尤其如此，因?yàn)樵谄渲姓煌队盁o(wú)意義。例如，在空間lp(p≥1)中，向量en=(0,…,0,1,0,0,…)構(gòu)成了一組基，對(duì)于lp中的每個(gè)向量x，“逐坐標(biāo)”展開(kāi)成立。

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