計(jì)算理論(TOC)是計(jì)算機(jī)科學(xué)的一個(gè)分支，研究如何使用算法解決問題以及解決問題的效率。現(xiàn)實(shí)世界中的計(jì)算機(jī)所執(zhí)行的計(jì)算本身就具有數(shù)學(xué)模型的功能，并以系統(tǒng)的方式解決問題。計(jì)算理論的精髓在于幫助創(chuàng)建高效、切中要害的數(shù)學(xué)和邏輯模型。由于所有實(shí)現(xiàn)邏輯的機(jī)器都使用 TOC，因此學(xué)習(xí) TOC 可以讓學(xué)生深入了解計(jì)算機(jī)硬件和軟件的局限性。

一、計(jì)算問題的關(guān)鍵考慮因素

a.什么可以計(jì)算，什么不可以計(jì)算。

b.此類計(jì)算的速度。

c.此類計(jì)算期間使用的內(nèi)存量。

二、計(jì)算理論的重要性

計(jì)算理論構(gòu)成了以下基礎(chǔ)：

a.編寫在計(jì)算設(shè)備中運(yùn)行的高效算法。

b.編程語言的研究及其發(fā)展。

c.高效的編譯器設(shè)計(jì)和構(gòu)建。

三、計(jì)算理論的三個(gè)分支

計(jì)算理論有三個(gè)分支組成，他們是自動(dòng)機(jī)原理、可計(jì)算性理論以及復(fù)雜性理論。

1.自動(dòng)機(jī)理論

數(shù)學(xué)家和計(jì)算機(jī)科學(xué)家發(fā)展了計(jì)算機(jī)科學(xué)的這一理論分支，通過使用定義明確的抽象計(jì)算裝置(模型)來簡化計(jì)算邏輯。自動(dòng)機(jī)理論是對抽象計(jì)算設(shè)備的研究。它為生物計(jì)算機(jī)和量子計(jì)算機(jī)等計(jì)算設(shè)備的設(shè)計(jì)和分析提供了一個(gè)形式框架。這些模型在計(jì)算機(jī)科學(xué)的多個(gè)領(lǐng)域(包括應(yīng)用和理論)都至關(guān)重要。

自動(dòng)機(jī)是一種機(jī)器，它根據(jù)輸入進(jìn)行單一操作，并按照確定的模式或配置產(chǎn)生所需的輸出。通過自動(dòng)機(jī)，我們可以了解如何使用自動(dòng)機(jī)解決計(jì)算機(jī)問題和功能。

自動(dòng)機(jī)理論的分支有：

a.有限自動(dòng)機(jī)(FA)：這是一種計(jì)算能力較低的計(jì)算機(jī)模型。這種模型適用于內(nèi)存有限的設(shè)備。它是一種簡單的抽象機(jī)器，由五個(gè)元素定義其工作方式和處理問題的方式。有限自動(dòng)機(jī)(FA)是一個(gè)有限的狀態(tài)集合，帶有根據(jù)輸入符號遍歷狀態(tài)的規(guī)則(轉(zhuǎn)換函數(shù))。有限自動(dòng)機(jī)通過從左到右讀取輸入字符串來接受或拒絕它們。

b.上下文語法(CFG)：這是比 FA 更強(qiáng)大的抽象模型，主要用于編程語言和自然語言研究。

c.圖靈機(jī)：這是具有無限內(nèi)存(磁帶形式)和讀取頭的真實(shí)計(jì)算機(jī)的抽象模型。它們是比 FA、CFG 和正則表達(dá)式更強(qiáng)大的計(jì)算模型。

2.可計(jì)算性理論

可計(jì)算性理論決定了一個(gè)問題是否能被抽象機(jī)器 "解決"。有些問題是可計(jì)算的，而有些問題則不可計(jì)算。根據(jù)問題的性質(zhì)，會使用不同的計(jì)算模型，如圖靈機(jī)和有限狀態(tài)機(jī)。

3.復(fù)雜性理論

復(fù)雜性理論是理論計(jì)算機(jī)科學(xué)的一個(gè)分支，它以解決問題所需的資源(時(shí)間和空間)作為衡量標(biāo)準(zhǔn)，研究解決問題的成本。算法的運(yùn)行時(shí)間取決于其輸入，通常隨輸入的大小而增加。

要衡量復(fù)雜性，需要對算法進(jìn)行分析，以了解解決問題所需的時(shí)間(時(shí)間復(fù)雜性)。在評估算法時(shí)，重點(diǎn)關(guān)注輸入量增加時(shí)的相對增加率。由于算法的精確運(yùn)行時(shí)間通常是一個(gè)復(fù)雜的表達(dá)式，我們通常只使用一個(gè)估計(jì)值。在確定算法的時(shí)間復(fù)雜度時(shí)，需要測量算法所需的時(shí)間與輸入大小(n)的函數(shù)關(guān)系。

T(n) 的時(shí)間復(fù)雜度使用Big O表示法表示，其中僅考慮代數(shù)表達(dá)式中的最高階項(xiàng)，只考慮常量項(xiàng)。

分析算法時(shí)常見的運(yùn)行時(shí)間是：

O(1) - 恒定時(shí)間或恒定空間，無論輸入大小如何。

O(n) - 線性時(shí)間或線性空間，其中要求隨著輸入的大小均勻增加。

O(log n) - 對數(shù)時(shí)間，其中要求以對數(shù)性質(zhì)增加。

O(n^2) - 二次時(shí)間，其中要求以二次性質(zhì)增加。

該分析基于可用于定義每種算法成本的 2 個(gè)界限。

復(fù)雜性的主要分類包括：

P 類： P 類由可在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)解決的問題組成。對于某個(gè)常數(shù) k，這些問題可以在 O(n^k) 時(shí)間內(nèi)解決，其中 n 是問題的輸入大小。它旨在捕捉高效計(jì)算的概念。

NP類：它構(gòu)成了所有問題的類，其解決方案可以通過非確定性圖靈機(jī)在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)。NP 是用于對決策問題進(jìn)行分類的復(fù)雜性類別。

復(fù)雜性理論的一個(gè)主要貢獻(xiàn)者是用于解決問題的算法的復(fù)雜性。在用于解決計(jì)算問題的多種算法中，有些算法的復(fù)雜性范圍從相當(dāng)復(fù)雜到非常復(fù)雜。

算法越復(fù)雜，給定問題的計(jì)算復(fù)雜度就越高。

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