在18世紀(jì)，丹尼爾·伯努利對(duì)流體運(yùn)動(dòng)中的力進(jìn)行了研究。這個(gè)方程出現(xiàn)在很多物理學(xué)、流體力學(xué)和飛機(jī)設(shè)計(jì)的教科書中。該方程表明，流體中的靜壓力ps加上動(dòng)壓力(即密度ρ的一半乘以速度V的平方)等于整個(gè)流體中的一個(gè)常數(shù)。我們稱這個(gè)常數(shù)為總壓力pt。

在流體屬性頁面所討論的，我們可以從兩個(gè)角度來看待流體：一是從我們能夠測量的流體的宏觀特性，二是從分子運(yùn)動(dòng)和相互作用的微觀尺度。在這一頁中，我們將從這兩個(gè)角度來考慮伯努利方程。

一、宏觀尺度推導(dǎo)

熱力學(xué)是描述流體宏觀特性的科學(xué)分支。在熱力學(xué)的研究中，能量守恒是一個(gè)主要成果;在一個(gè)系統(tǒng)內(nèi)，能量既不會(huì)被創(chuàng)造也不會(huì)被破壞，而是可以從一種形式轉(zhuǎn)換為另一種形式。我們將從能量守恒方程出發(fā)推導(dǎo)伯努利方程。在納維-斯托克斯方程頁面上給出了能量守恒的最一般形式。該公式考慮了非定常流動(dòng)和粘性相互作用的影響。假設(shè)穩(wěn)定的無粘流，我們有一個(gè)以流體的焓表示的簡化能量守恒方程：

ht2 - ht1 = q - wsh

其中ht是流體的總焓，q是傳遞到流體中的熱量，wsh是流體所做的有用功。

假設(shè)沒有熱量傳遞到流體中，并且流體沒有做功，那么：

ht2 = ht1

由總焓的定義可知：

e2 + (p * v)2 + (.5 * V^2)2 = e1 + (p * v)1 + (.5 * V^2)1

其中e是內(nèi)能，p是壓力，v是比容，V是流體的速度。根據(jù)熱力學(xué)第一定律，如果沒有做功，也沒有傳熱，內(nèi)能保持不變：

(p * v)2 + (.5 * V^2)2 = (p * v)1 + (.5 * V^2)1

比容是流體密度r 的倒數(shù)：

(p / r)2 + (.5 * V^2)2 = (p / r)1 + (.5 * V^2)1

假設(shè)流動(dòng)不可壓縮，密度為常數(shù)。將能量方程乘以常數(shù)密度：

(ps)2 + (.5 * r * V^2)2 = (ps)1 + (.5 * r * V^2)1 = 常數(shù) = pt

這是伯努利方程最簡單的形式，也是教科書中最常引用的形式。如果我們?cè)谕茖?dǎo)時(shí)做出不同的假設(shè)，我們可以推導(dǎo)出方程的其他形式。

應(yīng)用任何方程時(shí)，了解其使用限制非常重要;當(dāng)對(duì)問題的性質(zhì)做出某些簡化假設(shè)時(shí)，方程的推導(dǎo)過程中通常會(huì)出現(xiàn)限制。如果您忽略這些限制，您可能經(jīng)常會(huì)從方程式中得到不正確的“答案”。例如，這種形式的方程是在假設(shè)流動(dòng)不可壓縮的情況下推導(dǎo)出來的，這意味著流動(dòng)的速度遠(yuǎn)小于聲速。如果您將此形式用于超音速流動(dòng)，則答案將是錯(cuò)誤的。如果你想知道如何使用伯努利方程，那么你可以使用HighMark的課程輔導(dǎo)服務(wù)。

二、分子尺度推導(dǎo)

我們可以通過考慮氣體分子的運(yùn)動(dòng)來對(duì)方程進(jìn)行另一種解釋。流體中的分子在不斷的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)中，并相互碰撞以及與流體中物體的墻壁碰撞。分子的運(yùn)動(dòng)給予了它們線性動(dòng)量，而流體壓力則是這種動(dòng)量的一種度量。如果氣體靜止，分子的所有運(yùn)動(dòng)都是隨機(jī)的，我們檢測到的壓力是氣體的總壓力。如果氣體被設(shè)置成運(yùn)動(dòng)或流動(dòng)，一些隨機(jī)速度分量會(huì)改變?yōu)橛邢蜻\(yùn)動(dòng)。我們稱這種有向運(yùn)動(dòng)為“有序”，與無序的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)相對(duì)。

我們可以將一個(gè)“壓力”與氣體有序運(yùn)動(dòng)的動(dòng)量聯(lián)系起來。我們將這種壓力稱為動(dòng)壓力。分子剩余的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)仍會(huì)產(chǎn)生一個(gè)稱為靜壓力的壓力。在分子層面上，隨機(jī)和有序運(yùn)動(dòng)之間沒有區(qū)別。每個(gè)分子都有某個(gè)方向的速度，直到它與另一個(gè)分子碰撞并改變速度。但是當(dāng)你將所有分子的所有速度相加時(shí)，你會(huì)檢測到有序運(yùn)動(dòng)。根據(jù)能量和動(dòng)量守恒定律，靜壓力加上動(dòng)壓力等于流動(dòng)中的原始總壓力(假設(shè)我們不在流動(dòng)中添加或減少能量)。動(dòng)壓力的形式是密度乘以速度的平方再除以二。

三、伯努利方程的應(yīng)用

在低速氣流翼型上，流動(dòng)是不可壓縮的，密度保持不變。然后，伯努利方程簡化為速度和靜壓力之間的簡單關(guān)系。翼型表面是一條流線。由于速度沿流線變化，可以使用伯努利方程計(jì)算壓力的變化。翼型表面上整合的靜壓力給出了翼型的總氣動(dòng)力。這個(gè)力可以分解為翼型的升力和阻力。

伯努利方程還用于飛機(jī)上提供一個(gè)稱為皮托管的速度計(jì)。用機(jī)械設(shè)備測量壓力相當(dāng)容易。在皮托管中，我們測量靜壓和總壓，然后可以使用伯努利方程計(jì)算速度。

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