隨機(jī)過(guò)程是以數(shù)學(xué)集合為索引的隨機(jī)變量集合。每個(gè)概率和隨機(jī)過(guò)程都與集合中的一個(gè)元素唯一相關(guān)。索引集是用來(lái)索引隨機(jī)變量的集合。傳統(tǒng)上，索引集是實(shí)線的一個(gè)子集，如自然數(shù)，這使索引集具有時(shí)間解釋。

值集中的每個(gè)隨機(jī)變量都取自同一個(gè)數(shù)學(xué)空間，稱為空間。例如，空間可以是整數(shù)、實(shí)線或 η 維歐幾里得空間。隨機(jī)過(guò)程的增量是隨機(jī)過(guò)程在兩個(gè)指數(shù)值之間的變化量，通常解釋為兩個(gè)時(shí)間點(diǎn)。由于隨機(jī)性，隨機(jī)過(guò)程可以有很多結(jié)果，隨機(jī)過(guò)程的一個(gè)結(jié)果被稱為檢驗(yàn)函數(shù)或?qū)崿F(xiàn)等。

一、分類

隨機(jī)過(guò)程可以有多種分類方法，例如，根據(jù)其狀態(tài)空間、索引集或?qū)﹄S機(jī)變量的依賴性進(jìn)行分類，而隨機(jī)過(guò)程的分類方法之一是根據(jù)索引集和狀態(tài)空間的卡入度進(jìn)行分類。

當(dāng)一個(gè)隨機(jī)過(guò)程用時(shí)間來(lái)表示時(shí)，如果它的索引集包含有限個(gè)或可數(shù)個(gè)元素，如有限個(gè)數(shù)集、整數(shù)集或自然數(shù)集，那么它就被稱為離散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程。如果索引集是實(shí)線的區(qū)間，則稱其為連續(xù)時(shí)間。離散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程和連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過(guò)程是隨機(jī)過(guò)程的兩種類型。連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過(guò)程需要更復(fù)雜的數(shù)學(xué)技術(shù)和知識(shí)，特別是因?yàn)樗饕遣豢捎?jì)算的，而離散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程被認(rèn)為更容易研究。如果索引集由整數(shù)或整數(shù)子集組成，隨機(jī)過(guò)程也稱為隨機(jī)序列。

如果空間由整數(shù)或自然數(shù)組成，隨機(jī)過(guò)程稱為離散或整數(shù)隨機(jī)過(guò)程。如果空間是實(shí)線，隨機(jī)過(guò)程稱為實(shí)值隨機(jī)過(guò)程或連續(xù)空間過(guò)程。如果空間是 η 維歐幾里得空間，隨機(jī)過(guò)程稱為 η 維向量過(guò)程或 η 向量過(guò)程。

二、隨機(jī)過(guò)程的類型

任何事件的概率都取決于一系列外部因素。數(shù)學(xué)中的概率》一章探討了這些因素的數(shù)學(xué)解釋及其用于計(jì)算此類事件的概率。根據(jù)概率論，所有隨機(jī)變量的計(jì)算都是為了找到一個(gè)事件發(fā)生的確定數(shù)字。當(dāng)這些隨機(jī)變量組合成一個(gè)集合時(shí)，就稱為隨機(jī)過(guò)程。隨機(jī)過(guò)程用于數(shù)學(xué)模型中，用來(lái)理解任何高度隨機(jī)行為導(dǎo)致的現(xiàn)象或系統(tǒng)。在這個(gè)不斷活躍和變化的世界中，這種現(xiàn)象隨時(shí)隨地都可能發(fā)生。

為了便于學(xué)習(xí)隨機(jī)過(guò)程，我們將其分為不同的類別。如果樣本空間由有限的數(shù)集或可數(shù)元素(如整數(shù)、自然數(shù)或任何實(shí)數(shù))組成，則在時(shí)間上保持離散。 如果是不可數(shù)的索引集，過(guò)程就會(huì)變得更加復(fù)雜。這門(mén)課程在高年級(jí)教授。本文將討論離散時(shí)間中的隨機(jī)過(guò)程。

構(gòu)成隨機(jī)過(guò)程的不同類型過(guò)程如下：

1.伯努利過(guò)程

伯努利過(guò)程是最簡(jiǎn)單的隨機(jī)過(guò)程之一。它是一連串獨(dú)立且同分布的隨機(jī)變量(iid)，其中每個(gè)隨機(jī)變量的概率為 1 或 0，例如，1 的概率為 P，0 的概率為 1-P。這個(gè)過(guò)程類似于重復(fù)拋擲硬幣，得到正面的概率為 P，數(shù)值為 1，得到尾部的概率為 0。換句話說(shuō)，伯努利過(guò)程是一系列 iid 伯努利隨機(jī)變量，其中每次拋硬幣代表一個(gè)伯努利過(guò)程。

2.隨機(jī)游走

隨機(jī)游走是一種隨機(jī)過(guò)程，通常定義為歐幾里得空間中 iid 隨機(jī)變量或隨機(jī)向量的和，即離散時(shí)間過(guò)程。不過(guò)，也有人用這個(gè)術(shù)語(yǔ)來(lái)指實(shí)時(shí)變化的過(guò)程，如金融學(xué)中使用的維納過(guò)程，這引起了一些混淆和批評(píng)。其他類型的隨機(jī)路徑的定義方式使其狀態(tài)空間可以是其他數(shù)學(xué)對(duì)象，如網(wǎng)格和群，并在各學(xué)科中得到廣泛研究和應(yīng)用。

簡(jiǎn)單隨機(jī)游走是隨機(jī)游走的一個(gè)經(jīng)典例子。它是一種以整數(shù)為狀態(tài)空間的隨機(jī)離散時(shí)間過(guò)程，以伯努利過(guò)程為基礎(chǔ)，其中每個(gè)伯努利變量都取正值或負(fù)值。換句話說(shuō)，簡(jiǎn)單隨機(jī)游走發(fā)生在整數(shù)上，其值增加 1 的概率為 1-p，或減少 1 的概率為 1-p，因此這種隨機(jī)游走的指數(shù)集由自然數(shù)組成，而其狀態(tài)空間由整數(shù)組成。如果 p=0.5，這種隨機(jī)游走稱為非對(duì)稱隨機(jī)游走。

3.維納過(guò)程

維納過(guò)程是一個(gè)靜態(tài)隨機(jī)過(guò)程，其增量的大小獨(dú)立且呈正態(tài)分布。維納過(guò)程是以證明其數(shù)學(xué)存在性的諾伯特-維納命名的，但也被稱為布朗運(yùn)動(dòng)過(guò)程或簡(jiǎn)單的布朗運(yùn)動(dòng)，因?yàn)樗鳛榱黧w中布朗運(yùn)動(dòng)的模型具有重要的歷史意義。

維納過(guò)程在概率論中起著核心作用，通常被認(rèn)為是最重要的隨機(jī)過(guò)程，其研究與其他隨機(jī)過(guò)程有關(guān)。它具有連續(xù)的指數(shù)集和狀態(tài)空間，因?yàn)槠渲笖?shù)集和狀態(tài)空間分別是非負(fù)數(shù)和實(shí)數(shù)。不過(guò)，該過(guò)程也可以定義得更寬泛，使其狀態(tài)空間成為無(wú)量綱歐幾里得空間。如果每個(gè)增量的平均值為零，則稱所產(chǎn)生的維納或布朗運(yùn)動(dòng)過(guò)程為零漂移。如果兩個(gè)時(shí)間點(diǎn)之間的平均增量等于時(shí)間差乘以常數(shù) μ(μ 為實(shí)數(shù))，則所得到的隨機(jī)過(guò)程稱為漂移 μ。

幾乎可以肯定的是，維納過(guò)程的樣本軌跡在任何地方都是連續(xù)的，但在任何一點(diǎn)都不可微?？梢詫⑵湟暈楹?jiǎn)單隨機(jī)游走的連續(xù)變體。唐斯克定理或不變性原理，也稱為中心函數(shù)極限定理，涉及其他隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)極限，如一些標(biāo)量隨機(jī)游走。

維納過(guò)程屬于幾個(gè)重要的隨機(jī)過(guò)程族，包括馬爾可夫族、萊維族和高斯族。該過(guò)程應(yīng)用廣泛，是隨機(jī)微積分中的主要隨機(jī)過(guò)程。它是定量金融學(xué)的基礎(chǔ)，被用于 Black-Scholes-Merton 模型等模型中。該過(guò)程還被用作多個(gè)領(lǐng)域中各種隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，包括大多數(shù)自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的一些分支。

4.泊松過(guò)程

泊松過(guò)程是一種具有不同形式和定義的隨機(jī)過(guò)程。它是一個(gè)計(jì)數(shù)過(guò)程，是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，代表某個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)的隨機(jī)點(diǎn)數(shù)或事件。過(guò)程中位于從零到給定時(shí)間間隔內(nèi)的點(diǎn)數(shù)是一個(gè)隨機(jī)泊松變量，取決于該時(shí)間和某個(gè)參數(shù)。該過(guò)程的狀態(tài)空間由自然數(shù)組成，其索引集由非負(fù)數(shù)組成。這個(gè)過(guò)程也被稱為泊松計(jì)數(shù)過(guò)程，因?yàn)樗梢员唤忉尀橐粋€(gè)計(jì)數(shù)過(guò)程。

同質(zhì)泊松過(guò)程是一種泊松過(guò)程，其中泊松過(guò)程由一個(gè)單一的正常數(shù)定義。同質(zhì)泊松過(guò)程與馬爾可夫過(guò)程和萊維過(guò)程屬于同一類隨機(jī)過(guò)程。

同質(zhì)泊松過(guò)程有多種定義和概括方法。這種隨機(jī)過(guò)程也被稱為靜止泊松過(guò)程，因?yàn)樗闹笖?shù)集是一條實(shí)線。如果把泊松過(guò)程的常數(shù)參數(shù)換成非負(fù)積分函數(shù) t，那么得到的過(guò)程就稱為非均質(zhì)或非均質(zhì)泊松過(guò)程，因?yàn)檫^(guò)程中各點(diǎn)的平均密度不再是常數(shù)。泊松過(guò)程是排隊(duì)論中的一個(gè)基本過(guò)程，也是數(shù)學(xué)模型中的一個(gè)重要過(guò)程，它被用來(lái)模擬在一定時(shí)間窗口內(nèi)隨機(jī)發(fā)生的事件。

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