在傳統(tǒng)數(shù)學中，復數(shù)分析被稱為復變函數(shù)理論。它是數(shù)學分析中分析復數(shù)函數(shù)的分支。它對數(shù)學的多個分支都有幫助，包括數(shù)論、代數(shù)幾何、解析組合學和應用數(shù)學。在本文中，您將了解什么是復變函數(shù)，以及如何求解復變函數(shù)。這篇文章HighMark為大家?guī)?strong>復變函數(shù)學習難點解析。

一、復變函數(shù)的定義

復變函數(shù)或復變函數(shù)是為復數(shù)賦復數(shù)的函數(shù)。假設 C 是復數(shù)集合。

函數(shù) f : C → C 是一個規(guī)則，它與 z∈ C 相關聯(lián)，是唯一的 w∈ C，寫成 w = f(z)。在這里，

z = x + iy

w = u + iv, where u = u(x, y) and v = v(x, y)

因此，u 和 v 是 x 和 y 的函數(shù)。

w = f(z) = u(x, y) + i v(x, y)

此外，w 的實部和虛部的標準符號是 u 和 v，其中 u 和 v 是 x 和 y 的函數(shù)。請注意，這里，D 稱為函數(shù) f 的定義域。復變函數(shù)，即 w = f(z)，通常表示為從復平面 z 到復平面 w 的映射或變換：

函數(shù)的圖形通常揭示了實變實值函數(shù)的性質(zhì)。然而，對于函數(shù) w = f(z)，其中 z 和 w 都是復數(shù)，卻沒有合適的圖形表示法，因為數(shù)字 z 和 w 位于平面而非直線上。

二、已解決實例講解

示例：

考慮 f(z) = z2 + iz，并用實部和虛部表示。

解決方案：

我們知道，z = x + iy

現(xiàn)在，f(z) = z2 + iz

= (x + iy)2 + i(x + iy)

= x2 + i2y2 + 2ixy + ix + i2y

= x2 – y2 + 2ixy + ix – y {since i2 = -1}

= x2 – y2 – y + i(x + 2xy)

其形式為w = u + iv such that u = x2 – y2 – y and v = x + 2xy.

或者

u = u(x, y) = x2 – y2 – y

v = v(x, y) = x + 2xy

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